자연수 편집하기 (부분)

= 진짜 자연수에 대한 거 =
{{진지주의}}
{{중심}}

* 상위문서: [[수 체계]]

== 개요 ==
{{인용문|0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ......}}


너가 처음에 배우는 숫자. 모르면 개씹쌍병신이다. 보통 대상의 개수를 셀 때 나오는 수를 말한다. 자연수의 집합은 영어 Natural number의 첫 글자를 따와 N이라고 쓴다.

대상의 수를 세는 것이 수학의 출발이니만큼, 수학의 탄생을 상징하는 가장 기본적인 개념이다.


보통 [[0]]을 자연수로 취급하지만 취급하지 않기도 한다. 하도 많이 쓰여서 말이지....
 
===어느 문과충의 부들부들===


{{문과}}
{{이과}}
└ 헛소리 자제 하도많이 쓰인다고 0이 자연수라니 미친소리하네 수학다시배워라

ㄴㄴ현대대수학에선 0도 자연수 취급한다 등신아 [[빈 수레가 요란하다]]

== 자연수의 수학적 정의 ==

후임자 집합이라는 successor set을 먼저 정의해야됨.

집합 A가 있으면 그 후임자를 {{수학|''A''{{아래첨자|+}} {{=}} ''A'' ∪ {''A''} }} 로 씀 

그러면 A 하나 던져주면 그다음놈까지 저거로 정의된다.

자연수는 저 A 자리에 공집합을 집어넣으면 된다.

그리고 공집합에 0이라고 이름을 주고 그 뒤로<br>
{{수학|1 {{루비|{{=}}|정의}} 0{{아래첨자|+}} {{=}} 0 ∪ {0} {{=}} ∅ ∪ {0} {{=}} {0} }}<br>
{{수학|2 {{루비|{{=}}|정의}} 1{{아래첨자|+}} {{=}} 1 ∪ {1} {{=}} {0} ∪ {1} {{=}} {0, 1} }}<br>
{{수학|3 {{루비|{{=}}|정의}} 2{{아래첨자|+}} {{=}} 2 ∪ {2} {{=}} {0, 1} ∪ {2} {{=}} {0, 1, 2} }}<br>
{{수학|4 {{루비|{{=}}|정의}} 3{{아래첨자|+}} {{=}} 3 ∪ {3} {{=}} {0, 1, 2} ∪ {3} {{=}} {0, 1, 2, 3} }}<br>
이런 식으로 부르는거지

여기서 만약 1부터 시작할 경우 1을 정의하기 위해 집어넣을 원소를 정의해야 하니 수고스럽기도 할 뿐더러 초항의 원소가 각각 사과 1개, 포도 1개 같이 서로 차이가 나면 이름만 같지 서로 다른 집합이 되어 일반화도 안되고 기준이 다르니 납득하기도 힘들지만, 0부터 시작할 경우 공집합이므로 굳이 원소를 정의 안해도 되니 더 간단하며 기준도 텅 빈 공집합을 초항으로 하니 납득하기에도 편하다. 이에 따라 0을 자연수 처음항으로 간주하는 것이다.

페아노 공리 뒷부분 더있는데 어차피 못알아 처먹을거잖아? 그니깐 여기까지만 쓴다.

== 자연수의 계산 ==
=== [[덧셈]] ===
위 설명생략한 공리들과 자연수에서의 덧셈은 덧셈이 가지는 가장 기본적인 성질들을 추려서, 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

 (A1) 임의의 자연수 n에 대하여 n+1 = n+1=n{{위첨자|+}}
 
 (A2) 임의의 자연수 m,n에 대하여 m+n{{위첨자|+}}=(m+n){{위첨자|+}}

이게 끝이다. 사실 이런 식으로밖엔 자연수의 덧셈을 제대로 정의할 수 있는 방법이 사실상 없다. 하지만 이런 정의와 페아노 공리, 특히 다섯 번째 공리(수학적 귀납법)이 만나면 우리가 아는 모든 게 다 튀어나온다.

일단 결합법칙, 교환법칙, 그리고 소거법칙이 금방 나온다.

고로 1+1를 존나 손쉡게 증명할 수 있다.

여기서 1 대신 0으로 시작하는 경우, (A1)은 이렇게 바꿔야 한다.

 (A1) 임의의 자연수 n에 대하여 n+0 = n+0=n

=== [[뺄셈]]? ===
 A-B=C

뺄셈은 대충 보면 자연수 대소를 비교했을 때 큰거에서 작은 것을 빼는 거라고 하지만 실상은 양의 정수와 음의 정수를 더한거라고 한다.

=== [[곱셈]] ===
덧셈이랑 비슷하다.

 (M1) 임의의 자연수 n에 대하여 n×1=n.
 (M2) 임의의 자연수 m,n에 대하여 m×n{{위첨자|+}}=m×n+m.


덧셈과 마찬가지로 0부터 시작하는 경우 (M1)은 다음과 같이 바꿔야 한다.

 (M1') 임의의 자연수 nn에 대하여 n×0=0.

== 자연수의 대소 관계 ==

 두 자연수 a,b에 대하여 어떤 c가 존재해 a=b+c가 성립한다면, a>b이다.

그러하다.