옵션 편집하기 (부분)

= 콜 옵션 =


지금 이 시점에서 한 주당 "S_0"원의 어떤 주식이 있다고 하자. 이 주식에 대한 콜 옵션을 사려고 한다면 너는 콜 옵션에서 

롱 포지션을 취하는 것이다. 이 콜 옵션이 유로피언이고 만기 시점이 T년 후라고 하겠다. T년 후, 주식의 가격은 "S_T"원이 되어있을 것이다. 

순간 이자율을 r, 행사가격을 K, 그리고 콜 옵션의 프리미엄을 C_(0,K)원이라고 하겠다.



위의 예시에 나오는 콜 옵션은 만기일의 페이오프가 Payoff_T = max(S_T - K, 0)이다. 옵션은 앞서 설명했듯이 권리이기 때문에, 만약 행사한다면 

S_T - K가 롱 포지션을 취한 당사자에게 돌아오는 것이고, 행사하지 않는다면 0의 페이오프가 t=T 시점에 발생하는 것이다. 반대로, 위의 콜 옵션을 

판매한 쇼트 포지션의 당사자는 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사했을 때의 페이오프가 -(S_T - K) = K - S_T이고, 행사하지 않았을 때의 페이오프가 0이다.



어떤 경우에 롱 포지션이 옵션을 행사하는가는 뻔하다. 페이오프가 양수일 때이다. 반대로, 페이오프가 양수가 아니라면 옵션을 행사하지 않을 것이다.

참고로 "페이오프"가 양수일 때 행사하는 거지, "프로핏"이 양수일 때 행사하는 것이 아니다. "프로핏"이 음수더라도 "페이오프"가 양수라면 옵션을 행사한다.

"페이오프"가 양수일 경우, "프로핏"이 음수더라도 행사했을 때 절대값이 좀 더 작은 음수의 프로핏을 볼 수 있기 때문이다.



롱 포지션에게 있어서 페이오프가 양수가 아니라는 건 K가 S_T보다 클 때이다. 

여기서 더 나아가서, 만기일 시점에서의 롱 포지션의 프로핏은 Profit_T = Payoff_T - (Cost_0)e^(rT) = max(S_T - K, 0) - (C_(0, K))e^(rT)이고,

쇼트 포지션의 프로핏은 반대로 Profit_T = -max(S_T - K, 0) + (C_(0, K))e^(rT) 이다.



예를 들어보자. 현재 시점에서 가격이 한 주당 S_0 = 10000원하는 어떤 주식이 있다고 하자. 이 한 주의 주식에 대한 유로피언 콜 옵션이 하나 있는데, 

콜 옵션의 프리미엄이 200원이고, 행사 가격이 10500원이라고 하자. 복리 연 이자율이 2%라고 가정하고, 이 콜 옵션의 만기일이 1년 후라고 하겠다.

내가 이 콜 옵션을 사는 당사자라고 하겠다.


일단, 연 이자율이 2%이므로 순간 이자율은 r = ln(1 + 0.02) = ln(1.02)이다. K = 10500이고, S_0 = 10000, C_(0, K) = 200, T = 1이다.

1년 후의 나의 페이오프는 Payoff_1 = max(S_1 - 10500, 0)이고, 프로핏은 Profit_1 = max(S_1 - 10500, 0) - 200e^(ln(1.02) * 1)

= max(S_1 - 10500, 0) - 200(1.02) = max(S_1 - 10500, 0) - 204이다. S_1은 1년 후의 주식 가격을 뜻한다.


1년 후의 주식 가격이 11000원으로 10% 상승했다고 하자. 그렇다면 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(11000 - 10500, 0) = 500원이다.

같은 시기의 프로핏은 500 - 204 = 296원이다. 대략 300원 이득 봤다.

1년 후의 주식 가격이 9000원으로 10% 하락했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(9000 - 10500, 0) = 0원이고,

프로핏은 0 - 204 = -204원이다. 대략 200원 손해다.

1년 후의 주식 가격이 10000원 그대로인 경우엔, 만기일 시점의 페이오프는 max(10000 - 10500, 0) = 0원으로 계산되고,

프로핏은 0 - 204 = -204원으로 계산된다. 주식 가격이 그대로인데 주식을 직접 산 게 아니라 옵션을 샀기 때문에 프리미엄 지불로 인한 손해를 봤다.

1년 후의 주식 가격이 10600원으로 6% 상승했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 Payoff_1 = max(10600 - 10500, 0) = 100원이고,

프로핏은 100 - 204 = -104원이다. 주식은 상승했지만, 최종적으로 손해를 봤다. 그러나 옵션을 행사하지 않았다면 프로핏이 0 - 204 = -204원일 뻔했다.

1년 후의 주식 가격이 10원(!!)으로 폭락했다고 하자. 페이오프는 max(10 - 10500, 0) = 0원(!!!)이고,

프로핏은 0 - 204 = -204원이다.

1년 후의 주식 가격이 100,000,000원(???)으로 폭등했다면, 페이오프는 max(1억 - 10500, 0) = 99,989,500원이고,

프로핏은 99,989,500 - 204 = 99,989,296원이다.


위의 계산을 보면 알겠지만 나(롱 포지션)의 페이오프가 음수가 될 일은 절대 없다. 주식 가격이 정말 0.000001원으로 폭락하든 말든 옵션을 

행사하지만 않으면 장땡이다. 또한, 최저 프로핏이 -204원임을 알 수 있는데, 이는 옵션을 살 경우 최악의 경우의 손해가 프리미엄과 그에 붙는 

이자 조금 빼면은 없다는 것을 볼 수 있다. 더불어, 주식 가격이 일정 분 이상 상승한다면 그에 따른 이득은 이득대로 볼 수 있다는 것을 알 수 있다. 

그러나 주식을 직접 사는 대신 옵션을 사는 걸 택함으로써 주식이 상승함에도 최종적으로는 손해를 볼 수 있는 경우도 있다는 걸 볼 수 있다. 

위의 주식 가격 6% 상승의 예시를 다시 보자.


(위의 설명은 다시 말해, 쇼트 포지션의 페이오프가 양수가 될 일은 절대 없다(!)는 것을 말하고, 또한 쇼트 포지션이 볼 수 있는 최대 프로핏이 프리미엄과

그에 붙는 이자가 전부라는 걸 말한다.)


다시 말하지만 콜 옵션은 롱 포지션 홀더가 기초 자산을 행사가격에 살 수 있는 권리를 뜻한다. 콜 옵션을 파는 사람(옵션 라이터writer 라고 한다)은 

즉 "만약 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사한다면 반드시 행사가격에 그 쪽에 기초 자산을 팔겠습니다"라는 자신들이 져야하는 의무를 상대에게 파는 것이다. 

이는 다시 말해 10000원짜리 주식이 1억원으로 치솟았고, 이에 대한 행사가격 10500원짜리 콜 옵션을 누군가에게 200원을 받고 팔았다면, 그 콜 옵션을 

판 쇼트 포지션 홀더는 롱 포지션 쪽에서 10500원에 1억원 짜리 주식을 사러 왔을 때 (옵션 행사) 정말 입에 거품 물며 팔 수 밖에 없다는 것이다. ㅉㅉ

물론 쇼트 포지션 홀더는 롱 포지션 홀더 쪽에서 옵션을 행사하지 않을 경우 (예를 들어 주식이 8500원으로 떨어졌다거나 10400원으로 올랐지만 10500원보다

더 오르지는 않았을 때) 롱 포지션 쪽에서 옵션 가격으로 쇼트 포지션 측에 지불한 프리미엄(+ 이자)을 고스란히 이익으로 갖는다.


정리하자면, 콜 옵션의 경우 만기일 기준,

롱 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 무한대고, 최저 프로핏은 -(콜 옵션 프리미엄) * (1 + 이자율)^T 혹은 -(프리미엄)*e^(순간 이자율 * T);

쇼트 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 (프리미엄)*e^(순간 이자율 * T)이고, 최저 프로핏은 -무한대임을 알 수 있다.

기본적으로 주식 가격이 "행사가격 + (C_(0, K))e^(rT)" 이상으로 오르는 경우에만 롱 포지션은 이득을 본다.

반대로, 쇼트 포지션은 주가가 "행사가격 + (C_(0, K))e^(rT)" 이하로 내려가는 경우에만 이득을 본다.


또, 행사 가격이 올라갈 경우 콜 옵션 프리미엄은 떨어진다는 걸 알 수 있다. 간단하게 예를 들어, 행사가격이 10500원이 아니라 12000원이라고 하자.

롱 포지션이 이 때 양수의 페이오프를 보는 경우는 1년 후의 주식 가격이 10000원에서 최소한 12000원을 초과했을 때(20% 초과 상승) 뿐인데

어떤 미친 놈이 행사가격 10500원의 옵션이 200원인데 행사가격 12000원짜리 콜 옵션을 200원보다 더 비싼 돈 주려고 사려고 할까? 

같은 프리미엄이라고 했을 때, K=10500일 때는 주식이 10704원을 초과하면 양수의 프로핏을 보는데, K=12000이면 주식이 10000원에서 

12204원을 초과해야만 양수의 프로핏을 볼 수 있다. 이러면 같은 200원짜리 콜 옵션인데 어떤 병신이 행사가격 12000원짜리를 사겠냐 10500원짜리를 사지.

이 말인 즉슨 옵션 라이터가 K=12000원짜리 콜 옵션을 팔고 싶으면 더 낮은 콜 프리미엄을 불러야 한다는 걸 알 수 있다.


마지막으로 알아둘 것은 Payoff_T = max(S_T - K, 0)라는 "S_T"를 인풋으로 갖는 함수는 롱 포지션의 당사자가 당연한/합리적인 선택을 한다는 가정하에 

세워진 함수라는 점이다.


위의 콜 옵션을 보고 보험을 떠올렸다면 네가 맞다. 옵션이라는 파생상품 자체가 위험회피를 목적으로 개발된 상품이다. 주식을 직접샀다면 10000원짜리

주식이 10원으로 폭락했을 때 9990원 손해를 네가 고스란히 봤겠지만, 콜 옵션을 샀다면 그럴 필요가 없다는 것이다. 물론 어느 정도 이상 주식이 상승하지

않으면 옵션을 샀을 경우엔 손해를 보게 되겠지만 나락으로 떨어지는 것보다야...


그리고 애들이 가끔 오해하는 부분이 있는데 콜 옵션 라이터가 기초 자산을 콜 옵션을 파는 시점에서 갖고 있을 필요가 없다. 즉, 쇼트 포지션 홀더가 

그 10000원짜리 주식을 지금 당장 갖고 있지 않아도 콜 옵션을 팔 수 있다는 것이다. 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사할 때 딱 그 때 주식을 사서 행사가격

받고 그 주식을 넘기면 된다. 아니면 차익을 넘기던지. 이를 주식 혹은 기초자산을 딜리버(deliver) 한다고 한다.


물론 기초 자산에 대해 어떤 포지션을 취하고 있는 경우도 있다. 옵션 라이터가 기초 자산에 대해 어떤 포지션을 취하고 있고 (예를 들어 기초 자산을

소유했다던지) 이 상태에서 콜 옵션을 파는 행위를 커버드 라이팅(covered writing)이라고 한다.

옵션 라이터가 기초 자산에 대해 어떤 포지션을 취하지 않고 콜 옵션을 파는 행위는 네이키드 라이팅(naked writing)이라고 한다.