야코비 타원함수 편집하기 (부분)

== 특수각 ==
=== 기본 ===
{{쉬운 게임}}
φ = 0일 때
 {{수학|sn (0{{!}}''m'') {{=}} 0}}
 {{수학|cn (0{{!}}''m'') {{=}} 1}}
 {{수학|dn (0{{!}}''m'') {{=}} 1}}

φ = K(m)일 때
 {{수학|sn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} 1}}
 {{수학|cn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} 0}}
 {{수학|dn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}}}

φ = {{수직분수|K(m)|2ⁿ}}꼴일 땐 2배각 공식을 거듭해서 구하면 된다.<br>
예를 들면 φ={{수직분수|K(m)|2}}일 때는
 {{수학|sn ({{수직분수|''K''(''m'')|2}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1|{{제곱근||1 + {{제곱근||1 - ''m''}}}}}}}}
 {{수학|cn ({{수직분수|''K''(''m'')|2}}{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||{{수직분수|{{제곱근||1 - ''m''}}|1 + {{제곱근||1 - ''m''}}}}}}}}
 {{수학|dn ({{수직분수|''K''(''m'')|2}}{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근|4|1 - ''m''}}}}
이다.

=== φ = {{수직분수|K(m)|3}}일 때 ===
{{길음|유도 과정}}
{{난해한 문서}}
먼저 계산을 편하게 하기 위해<br>
┏{{수학|sn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''s'', sn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''s{{아래첨자|2}}''}}<br>
┃{{수학|cn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''c'', cn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''c{{아래첨자|2}}''}}<br>
┗{{수학|dn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''d'', dn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''d{{아래첨자|2}}''}}<br>
로 놓고 cn 합공식에 α = {{수직분수|K(m)|3}}이랑 β = {{수직분수|2K(m)|3}}을 대입하자<br>
그럼 방정식 {{수학|0 {{=}} cn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|''cc''{{아래첨자|2}} - ''sds''{{아래첨자|2}}''d''{{아래첨자|2}}|1 - ''ms''²''s''{{아래첨자|2}}²}}}}<br>
➡️{{수학|0 {{=}} ''cc''{{아래첨자|2}} - ''sds''{{아래첨자|2}}''d''{{아래첨자|2}}}}을 얻음 ㅇ

그 다음 s{{아래첨자|2}}c{{아래첨자|2}}d{{아래첨자|2}}를 scd에 대한 식으로 바꾸기 위해 합공식에 α = β = {{수직분수|K(m)|3}}를 넣어 얻은<br>
┏{{수학|''s''{{아래첨자|2}} {{=}} {{수직분수|2''scd''|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
┃{{수학|''c''{{아래첨자|2}} {{=}} {{수직분수|''c''² - ''s''²''d''²|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
┗{{수학|''d''{{아래첨자|2}} {{=}} {{수직분수|''d''² - ''ms''²''c''²|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
이 놈들을 위 방정식에다 대입하면<br>
{{수학|0 {{=}} ''cc''{{아래첨자|2}} - ''sds''{{아래첨자|2}}''d''{{아래첨자|2}}}}<br>
{{수학| {{=}} ''c''·{{수직분수|''c''² - ''s''²''d''²|1 - ''ms''⁴}} - ''sd''·{{수직분수|2''scd''|1 - ''ms''⁴}}·{{수직분수|''d''² - ''ms''²''c''²|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
이렇게 바꿀수 있다.

그리고 양변에다 {{수직분수|(1 - ''ms''⁴)²|''c''}}를 곱하고 위 식을 계산하면<br>
{{수학|0 {{=}} (''c''² - ''s''²''d''²)(1 - ''ms''⁴) - 2''s''²''d''²(''d''² - ''ms''²''c''²)}}<br>
{{수학|{{=}} [({{색|blue|1}} - {{색|violet|''s''²}}) + ({{색|violet|''ms''⁴}} - {{색|blue|''ms''⁴}}) - ''s''²''d''²](1 - ''ms''⁴)}} {{수학|- 2''s''²''d''²(''d''² - ''ms''²''c''²)}} ({{색|blue|파란색 {{=}} 1 - ms⁴}}, {{색|violet|보라색 {{=}} -s²d²}}이고 보라색을 옆쪽 -s²d²와 합치자)<br>
{{수학|{{=}} [(1 - ''ms''⁴) - 2''s''²''d''²](1 - ''ms''⁴)}} {{수학|- 2''s''²''d''²(''d''² - ''ms''²''c''²)}} (-2s²d²를 묶어주자)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''ms''⁴)² - 2''s''²''d''²[(1 - {{색|green|''ms''⁴}}) + (''d''² - {{색|green|''ms''²''c''²}})]}} (초록색 더해주자)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''ms''⁴)² - 2''s''²''d''²(1 - ''ms''² + ''d''²)}} (1 - ms² = d²)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''ms''⁴)² - 4''s''²''d''⁴}}이고 여기서 우변을 이항하면<br>
{{수학|(1 - ''ms''⁴)² {{=}} 4''s''²''d''⁴}}임을 알 수 있고 여기에다 루트를 적용하면<br>
{{수학|1 - ''ms''⁴ {{=}} ±2''sd''²}}가 나온다.

여기서 잠깐 부호가 뭐가 되야 하는지 알기 위해 m = 0을 넣어보면 K(0) = 90° 임에 따라<br>
{{수학|s {{=}} sn ({{수직분수|90°|3}}{{!}}0) {{=}} sin 30° {{=}} {{수직분수|1|2}}}}이고<br>
{{수학|d² {{=}} 1 - 0·s² {{=}} 1}}이니 부호가 양수이다.

고로 아까 식에다 루트를 하면 {{수학|1 - ''ms''⁴ {{=}} 2''sd''²}}가 나오게 되고 이놈을 정리하면<br>
4차방정식 {{수학|''ms''⁴ - 2''ms''³ + 2''s'' - 1 {{=}} 0}}을 얻는다.

이제 이 식에다 s = {{수직분수|x - 1|x + 1}}을 넣고 (x + 1)⁴을 곱하면<br>
{{수학|0 {{=}} ''m''(''x'' - 1)⁴ - 2''m''(''x'' - 1)³(''x'' + 1)}} {{수학|+ 2(''x'' - 1)(''x'' + 1)³ - (''x'' + 1)⁴}}<br>
{{수학|{{=}} ''m''(''x''⁴ - 4''x''³ + 6''x''² - 4''x'' + 1)}} {{수학|- 2''m''(''x''⁴ - 2''x''³ + 2''x'' - 1) + 2(''x''⁴ + 2''x''³ - 2''x'' - 1)}} {{수학|- (''x''⁴ + 4''x''³ + 6''x''² + 4''x'' + 1)}} (취소선 친건 사라짐)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''x''⁴ - 6''x''² - 8{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}''x'' - 3)}}을 얻는다<br>

그리고 이 식을 1 - m으로 나눈 다음 이 식 좌변을 완전제곱식으로 바꾸기 위해 식을 변형하면<br>
{{수학|''x''⁴ - 6''x''² + 9 {{=}} 8{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}''x'' + 12}}<br>
➡️{{수학|''x''⁴ + 2(2''y'' - 3)''x''² + (2''y'' - 3)²}} {{수학|{{=}} 4[''yx''² + 2{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}''x'' + (''y''² - 3''y'' + 3)]}}을 얻고<br>
우변도 완전제곱식으로 만들기 위해 2차[[방정식]] 짝수[[판별식]] 중근조건을 적용하면<br>
{{수학|0 {{=}} ''D'' {{=}} ({{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}})² - ''y''·(''y''² - 3''y'' + 3)}}<br>
{{수학| {{=}} [({{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}})² - 1] - (''y''³ - 3''y''² + 3''y'' - 1)}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|4''m''|(1 - ''m'')²}} - (''y'' - 1)³}} 이런 식이 나오고 이 식을 풀면 y값<br>
{{수학|''y'' {{=}} 1 + ''g'' {{=}} {{수직분수|(1 + ''m'')²|(1 - ''g'' + ''g''²)(1 - ''m'')²}}}} {{수학| (∛{{윗줄|{{수직분수|4''m''|(1 - ''m'')²}}}} {{=}} ''g''로 표기함)}}을 구할 수 있다.

이러면 위 식은<br>
{{수학|(''x''² + 2''y'' - 3)² {{=}} 4({{제곱근||''y''}}''x'' + {{수직분수|1 + ''m''|(1 - ''m''){{제곱근||''y''}}}})²}}<br>
➡️{{수학|(''x''² + 2''g'' - 1)² {{=}} 4({{제곱근||1 + ''g''}}''x'' + {{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})²}}<br>
로 바뀌고 여기에 루트를 적용하면<br>
{{수학|''x''² + 2''g'' - 1 {{=}} ±2({{제곱근||1 + ''g''}}''x'' + {{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})}}가 나온다.

이놈도 아까처럼 m = 0을 넣자. 그럼 s = {{수직분수|1|2}}이므로 x = 3일테고 g = 0이니 이것들을 집어넣어 확인하면 양수부호가 나와야 한다.

고로 위 식은<br>
{{수학|''x''² + 2''g'' - 1 {{=}} 2{{제곱근||1 + ''g''}}''x'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}<br>
으로 쓰이고 정리하면<br>
{{수학|''x''² - 2{{제곱근||1 + ''g''}}''x'' - (1 - 2''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}) {{=}} 0}}<br>
으로 나오며 이것을 2차방정식 근의공식에다 넣으면<br>
{{수학|''x'' {{=}} {{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}(m = 0일때 x = 3이 되야 하니까)임을 알 수 있다.

그 다음 s = {{수직분수|x - 1|x + 1}}을 s² + c² = 1, d² + ms² = 1에 대입해 나머지 값들을 구하자.<br>
먼저 c는 아래와 같은 과정으로 쉽게 구할 수 있다.<br>
{{수학|''c''² {{=}} 1 - ''s''²}}<br>
{{수학|{{=}} 1 - ({{수직분수|''x'' - 1|''x'' + 1}})²}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|(''x'' + 1)² - (''x'' - 1)²|(''x'' + 1)²}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|4''x''|(''x'' + 1)²}}}}<br>
➡️{{수학|''c'' {{=}} {{수직분수|2{{제곱근||''x''}}|''x'' + 1}}}}

다음은 d를 구할 건데 이건 좀 어렵다.<br>
먼저 x를 제곱해보면<br>
{{수학|''x''² {{=}} ({{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})²}}<br>
{{수학|{{=}} (1 + ''g'') + (2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})}} {{수학|+ 2{{제곱근||1 + ''g''}}·{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} 3 + 2({{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}} + {{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})}}<br>
이고 여기서<br>
{{수학|''z'' {{=}} {{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}} + {{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}<br>
로 놓아<br>
{{수학|''x''² {{=}} 3 + 2''z''}}<br>
으로 쓰자.

그 다음 z를 제곱하면 아래와 같다 ㅇ<br>
{{수학|''z''² {{=}} ({{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}} + {{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})²}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''g'' + ''g''²) + (1 + ''g'')(2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})}} {{수학|+ 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}·{{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''g'' + ''g''²) + (2 + ''g'' - ''g''²)}} {{수학|+ 2{{제곱근||(1 - ''g'' + ''g''²)(1 + ''g'')}} ({{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})}}<br>
{{수학|{{=}} 3 + 2{{제곱근||1 + ''g''³}}''x''}}<br>
{{수학|{{=}} 3 + 2''x''{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}}}<br>
➡️{{수학|2(1 + ''m'')''x'' {{=}} (1 - ''m'')(''z''² - 3)}}

이 식들을 가지고 (x + 1)²d²를 계산하면<br>
{{수학|(''x'' + 1)²''d''²}}<br>
{{수학|{{=}} (''x'' + 1)²(1 - ''ms''²)}}<br>
{{수학|{{=}} (''x'' + 1)² - ''m''(''x'' - 1)²}}<br>
{{수학|{{=}} (''x''² + 2''x'' + 1) - ''m''(''x''² - 2''x'' + 1)}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''x''² + 1) + 2(1 + ''m'')''x''}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(2''z'' + 4) + (1 - ''m'')(''z''² - 3)}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''z''² + 2''z'' + 1)}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''z'' + 1)²}} 이므로<br>
{{수학|''d'' {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|''z'' + 1|''x'' + 1}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|2''z'' + 2|2(''x'' + 1)}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|(''x''² - 3) + 2|2(''x'' + 1)}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|''x''² - 1|2(''x'' + 1)}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|''x'' - 1|2}}}}<br>
임을 알 수 있다.

정리하면
 {{수학|sn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|''x'' - 1|''x'' + 1}}}}
 {{수학|cn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|2{{제곱근||''x''}}|''x'' + 1}}}}
 {{수학|dn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}} {{수직분수|''x'' - 1|2}}}}
 {{수학| ※ 여기서 ''g'' {{=}} {{제곱근|3|{{수직분수|4''m''|(1 - ''m'')²}}}},}} {{수학|''x'' {{=}} {{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}이다.}}
이다.

그 다음 합공식에 α = K(m)하고 β = -{{수직분수|K(m)|3}}을 넣으면
 {{수학|sn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} }}
 {{수학|cn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|2|''x'' + 1}}}}
 {{수학|dn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|2|''x'' - 1}}}}
임을 알 수 있다.

=== φ = {{수직분수|nK(m)|5}}일때 ===
{{미완성}}
{{위험}}
{{6}}
6차방정식 {{수학|4''mu''⁶ + 8''mu''⁵ + 2(1 - ''m'')²''u'' - (1 - ''m'')² {{=}} 0}}을 풀어야 한다.