적분 편집하기 (부분)

== 전공수학에서 적분 ==
니들이 고등학교때 했던 x sinx 적분질 이딴거 전공수학에서 안한다. 적분은 [[해석학]]에서 다루므로, 관심이 있다면 [[해석학|이 문서]]로 가도록.

적분에는 여러 종류가 있다. 해석학에서는 니들이 아는 리만적분, 그리고 니들이 모르는 리만-스틸체스 적분을 다룬다. 적분도 계산질 적분이 아니라 '적분 가능'에 대해서 다룬다. 핵노잼 수능공부하는 고딩들은 "아니 연속함수면 적분 가능하지 그게 뭐가 어려워"할지도 모른다. 하지만 연속함수가 아니어도 적분 가능하다.

x<0일때 f(x)=1이고, x>=0일때 f(x)=2인 함수를 생각해 보아라. 이 함수는 폐구간 [-1, 1]에서 연속이 아니다. 근데 이 구간에서 적분한 결과가 3이라는 것에 태클거는 놈은 아무도 없을 것이다.

그래서 이처럼 보면 알겠지만 불연속점이 띄엄띄엄 있고 나머지는 연속인 함수도 적분이 잘 정의된다. 이것을 '조각 연속(Piecewise continuous)'라고 부른다. 이과면 이정도는 알아먹겠지?

근데 문제는 '띄엄띄엄'이란 애매한 표현을 수학에서는 절대 용납하지 않는다는 것이다. 이런 함수를 생각해 보자.

x가 유리수일때 f(x)=1, 그 외에 f(x)=0

유리수는 아무리 작은 구간을 작아도 그 안에 존나 많이 들어있다(전공수학에선 이것을 보고 dense하다고 한다). 이걸 보고 띄엄띄엄하다고 생각하는 놈은 80% 확률로 수학과 학생이다.

이 함수는 적분 가능할까? 결론은 리만적분 불가능하다. 모든 점에서 불연속이기 때문이다.

설명을 추가해 본다. 보통 리만적분이 가능한가? 에 대해서는 상합과 하합의 극한이 같느냐 안같느냐를 따져서 판단할 수 있다. 상합이란 구분구적법에서 배울 때 그래프보다 크게 만든 네모토막들의 합이다(즉, 분할이 촘촘해질수록 리만합에 가까워짐) 하합은 반대로 생각하면 된다. 그렇다면, n이 무한으로 간다면 상합은 임의의 양수 입실론에 대해 리만합 + 입실론일거고, 하합은 마찬가지로 리만합 - 입실론일 것이다. ㅇㅋ?
그럼 생각해보자. 위의 조밀한 함수에서 유리수점을 기준으로 분할을 했을때 모든 구간에서 하합은 0이고, 상합은 1이다. 뭔말인지 캐치가 되나? 어떻게 인터벌을 잡든 반드시 유리수와 무리수가 들어가므로 함숫값은 0과 1이 둘 다 있다. 그러므로 상합과 하합의 극한은 각각 0과 1이고, 따라서 같지 않으므로 리만적분이 불가능하다.

적분 가능을 논하기 위해 우리는 불연속점들의 집합의 성질을 알아야 한다. 불연속점이 유한하면 적분 가능하다는 것은 직감이 올 것이다. 머리가 터질 것 같은 너를 위해 결론만 적자면, 다음과 같다.

"불연속점의 집합이 measure zero이면, 리만적분 가능하다."

뭔 개소린지 모르겠는가? measure는 측도론에서 나오는 개념이다. [https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B8%A1%EB%8F%84 읽어봐라.] 물론 읽어봐도 모를 것이다. 이렇듯 리만적분만 봐도 존나 머리아프다.

자 근데 이러한 리만적분의 한계점을 극복하기 위해 르베그라는 미친 수학자가 '르베그 적분'이라는 이상한 개념을 만들어냈다. 이걸 이해하려면 측도론을 정말 제대로 알아야 한다. 위에서 말한 저 함수를 르베그 적분하면 놀랍게도 적분 가능하다. 그리고 그 결과는 항상 0이다. 유리수는 measure zero이기 때문이다.

자세한건 [[해석학]]이나 르베그 적분론에서 공부해 보도록.

[[분류:수학]]
[[분류:빡센 게임]]