0.99...=1 편집하기 (부분)

==== 교과 과정은 문제가 없을까? ====
위의 항목에도 언급된 중학교 때 배우는 가장 기초적인 증명에서 무한급수의 뺄셈을 함부로 해서는 안 된다. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...=ln2인데 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+...=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+...=(ln2)/2인 것처럼 연산하는 순서에 따라 다르게 수렴할 수 있다.

무한급수의 뺄셈을 통한 0.999...=1의 증명이 틀렸다는 게 아니라, 그 방법의 타당성을 검증하는 과정이 필요하다는 뜻이다.

:'''명제'''. ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|이 수렴하면, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}은 다르게 배열해도 같은 값에 수렴한다.
:증명. 다르게 배열한 순서는 원래 순서의 자연수 n에서 함수 f(n)으로의 일대일 대응으로 볼 수 있다. 어떤 큰 자연수 N에 대해서 f(1), f(2), ..., f(N)들 가운데 제일 큰 것을 M이라고 하겠다.
::a_{n}의 모든 항이 양수라고 하면 다르게 배열한 수열은 a_{f(n)}으로 쓸 수 있고, f(1), f(2), ..., f(N)은 1, 2, ..., M에 포함되어서 a_{f(1)}+a_{f(2)}+...+a_{f(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.
::원래의 순서는 다르게 배열한 순서의 자연수 n에서 함수 g(n)으로의 일대일 대응, 그러니까 역함수 f^{-1}(n)로 볼 수 있다. 그러면 a_{g(1)}+a_{g(2)}+...+a_{g(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.
::그런데 |a_{n}|이 수렴하므로 원래의 무한급수든 다르게 배열한 무한급수든 어떤 값보다는 작아야 하고, 그런 제한이 있는 이상 a_{n}은 모든 항이 양수인 급수의 합과 차로 나눌 수 있으니 이 명제는 참이다.

고등학교 때 배우는 증명은 간단하지만 무한급수를 쓴단 건 다르지 않다. 무한급수는 정의에 의해서 수렴하면 수열의 극한값으로 나타낼 수 있고, 실수는 정의에 의해서 실수 자체가 수열의 극한값이라고 해석할 수 있으므로 0.999...=9/10+9/100+9/1000+...=∑_{n=1}^{∞} 9/10^{n}=1이다.