수학 가형 190621 편집하기 (부분)

===Phase 1===
우선 (나)조건을 따지려고 보니 우리가 미분가능성을 조사해야할 식에서 루트 안에 절댓값이 씌워져 있다.

절댓값은 없애주는게 좋으므로 우린 f(x)의 함수값에 따라서 t를 경우에 따라 나누어줄 필요가 있다.

일단 f(x)의 그래프 부터 그려보자. 열심히 그려보면 다음과 같다.

[[파일:수학가형190621-1.png|500px]]

x = - {{수직분수|π|2}}, x = {{수직분수|3π|2}}는 함수값이 뚫려있으니까 제외하고 t를 경우에 따라 나누어 보면,

( t ≤ -2 )<br> 
( -2 < t < -1 )<br>
( t = -1 )<br>
( -1 < t < 0 )<br>
( 0 ≤ t < {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )<br>
( t = {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )<br>
( t > {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )

정도로 나누어 볼 수 있겠다. 하나씩 따져보자.

==== (i) ( t ≤ -2 )====
[[파일:수학가형190621-1-1.png|500px]]

f(x) > t 이므로, 

미분가능성 조사를 해야할 식의 루트 안 절댓값 |f(x) - t| = f(x) - t 로 풀린다.

i(x) = f(x) - t라고 하자.

x ≠ {{수직분수|π|4}}인 점에서 우선 조사해보자. 

x ≠ {{수직분수|π|4}}을 만족하는 x = c에서 미분가능성을 조사한다고 했을 때, 

[[파일:수학 가형 190621-1(2).jpg|200px]]

위와 같이 미분법 공식을 이용해서 조사를 하면 된다.

i(x) ≠ 0 이고, i'(x) = f'(x)이므로 평균변화율의 좌극한과 우극한이 같음을 알 수 있다.

따라서 x ≠ {{수직분수|π|4}}인 점에서는 미분이 가능하다.


이제 x = {{수직분수|π|4}}에서는 좌극한, 우극한의 계산에서 f(x)의 함수가 바뀌니까 조사하자.

p(x) = 2sin<sup>3</sup>x - t<br>
q(x) = cosx - t<br>
p'(x) = 6sin<sup>2</sup>xcosx<br>
q'(x) = - sinx

라고 하면,

lim(x->{{수직분수|π|4}}-){{수학|{{수직분수|{{제곱근|i(x)}} - {{제곱근|i({{수직분수|π|4}})}}|x - {{수직분수|π|4}}}}}} = lim(x->{{수직분수|π|4}}-){{수학|{{수직분수|{{제곱근|p(x)}} - {{제곱근|p({{수직분수|π|4}})}}|x - {{수직분수|π|4}}}}}} = {{수학|{{수직분수|p'({{수직분수|π|4}})|2{{제곱근|p({{수직분수|π|4}})}}}}}} = {{수학|－{{수직분수|2{{제곱근|2i({{수직분수|π|4}})}}}}}}<br>
lim(x->{{수직분수|π|4}}+){{수학|{{수직분수|{{제곱근|i(x)}} - {{제곱근|i({{수직분수|π|4}})}}|x - {{수직분수|π|4}}}}}} = lim(x->{{수직분수|π|4}}+){{수학|{{수직분수|{{제곱근|q(x)}} - {{제곱근|q({{수직분수|π|4}})}}|x - {{수직분수|π|4}}}}}} = {{수학|{{수직분수|q'({{수직분수|π|4}})|2{{제곱근|q({{수직분수|π|4}})}}}}}} = {{수학|{{수직분수|3|2{{제곱근|2i({{수직분수|π|4}})}}}}}}

평균변화율의 좌극한과 우극한의 값이 다르므로, x = {{수직분수|π|4}}에서 미분 불가능하다.

종합하면 

(t ≤ -2)에서 g(t) = 1이다.

====(ii) ( -2 < t < -1 )====
[[파일:수학가형190621-1-2.png|500px]]

x ≠ {{수직분수|π|4}}, a인 모든 실수 x에 대해서는 미분이 가능하다.

'''(i)'''에서 확인했듯이, x = {{수직분수|π|4}}에서는 미분이 불가능하다.

x = a에서 미분가능성을 조사해보자.

i(x) = f(x) - t 라고 하자. i(a) = 0이다.

[[파일:수학 가형 190621 2-(1).jpg|400px]]

평균변화율의 좌극한과 우극한의 값이 발산한다. 따라서, x = a에서 미분 불가능하다.

종합하면

( -2 < t < -1 )에서 g(t) = 2이다.

====(iii) ( t = -1 )====
[[파일:수학가형190621-1-3.png|500px]]

x ≠ {{수직분수|π|4}}, a, π인 모든 실수 x에 대해서는 미분이 가능하다.

'''(i)'''에서 확인했듯이, x = {{수직분수|π|4}}에서는 미분이 불가능하다.<br>
'''(ii)'''에서 확인했듯이, x = a에서는 미분이 불가능하다.

x = π에서 미분가능성을 조사해보자.

i(x) = f(x) - t 라고 하자. 이때, i(π) = 0이 된다.

[[파일:수학 가형 190621-2.jpg|400px]]

<오타 : u = x-π 로 치환이다.>

평균변화율의 좌극한 = - {{수학|{{수직분수|{{제곱근|2}}}}}}, 우극한 = {{수학|{{수직분수|{{제곱근|2}}}}}}으로

평균변화율의 좌극한과 우극한의 값이 달라지므로, x = π에서 미분 불가능하다.

종합하면

( t = -1 )에서 g(t) = 3이다.

====(iv) ( -1 < t < 0 ) ====
[[파일:수학가형190621-1-4.png|500px]]

x ≠ {{수직분수|π|4}}, a, b, c인 모든 실수 x에 대해서는 미분이 가능하다.

'''(i)'''에서 확인했듯이, x = {{수직분수|π|4}}에서는 미분이 불가능하다.<br>
'''(ii)'''에서 확인했듯이, x = a에서는 미분이 불가능하다.<br>
'''(ii)'''에서 x = a를 조사할 때와 같은 논리를 적용하면, x = b, c 에서도 미분이 불가능함을 알 수 있다.

종합하면

( -1 < t < 0 )에서 g(t) = 4이다.

==== (v) ( t = 0 ) ====
[[파일:수학가형190621-1-5.png|500px]]

x ≠ 0, {{수직분수|π|4}}, a인 모든 실수 x에 대해서는 미분이 가능하다. (사실 여기서는 a ={{수직분수|π|2}} 이다.)

'''(i)'''에서 확인했듯이, x = {{수직분수|π|4}}에서는 미분이 불가능하다.<br>
'''(ii)'''에서 확인할 수 있듯이, x = a에서는 미분이 불가능하다.<br>

x = 0에서의 미분가능성을 조사해보자.

i(x) = f(x) - t 라고 하자. 이때, i(0) = 0이 된다.

[[파일:수학 가형 190621-3.jpg|400px]]

평균변화율의 좌극한과 우극한의 값이 0으로 같으므로, x = 0에서 미분 가능하다.

종합하면

( t = 0 )에서 g(t) = 2이다.

==== (vi) ( 0 < t < {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )====
[[파일:수학가형190621-1-6.png|500px]]

x ≠ {{수직분수|π|4}}, a, b인 모든 실수 x에 대해서는 미분이 가능하다.

'''(i)'''에서 확인했듯이, x = {{수직분수|π|4}}에서는 미분이 불가능하다.<br>
'''(ii)'''에서 확인할 수 있듯이, x = a, b에서는 미분이 불가능하다.<br>

종합하면

( 0 < t < {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )에서 g(t) = 3 이다.

==== (vii) ( t = {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )====
[[파일:수학가형190621-1-7.png|500px]]

x ≠ {{수직분수|π|4}}인 모든 실수 x에 대해서는 미분이 가능하다.

'''(i)'''에서 확인할 수 있듯이, 어차피 x = {{수직분수|π|4}}를 경계로 f(x)자체가 완전히 다른 함수로 교체되기 때문에, 상수를 하나 뺀다고해서, 미분불가능점이 가능하게 되지는 않는다.

종합하면

( t = {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )에서 g(t) = 1이다.

==== (viii) ( t > {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )====
[[파일:수학가형190621-1-8.png|500px]]

f(x) < t 이므로, 

미분가능성 조사를 해야할 식의 루트 안 절댓값 |f(x) - t| = - f(x) + t 로 풀린다.

i(x) = {{제곱근| - f(x) + t}}라고 하자.

나머지는 '''(i)'''의 경우와 같이 x = {{수직분수|π|4}}에서만 미분가능성을 조사해주면 된다.

평균변화율의 좌극한과 우극한의 값이 다르므로, x = {{수직분수|π|4}}에서 미분 불가능하다.

종합하면 

( t > {{수직분수|{{수학|{{제곱근|2}}}}}} )에서 g(t) = 1이다.