0.99...=1 편집하기 (부분)

== 증띵 ==
===급식충도 이해가능한 존나 쉬운 증명 ===
{{진실}}
0.111...를 분수로 나타내면 1/9이다. 맞지? 0.111...을 9배하면 0.999...지? 그럼 분수는 9/9가 되겠네? 근데 9/9는 1을 9로 나눈것 중 9개가 있는거니까 1이네? 끝

'됐'냐? 제발 존나 뇌절하면서까지 0.999...≠1 증명하려고 하지 말고 걍 빨리 [[디시위키 꺼라|디키 끄고]] 공부나 해라

=== [[중학교]]에서 배우는 가장 기초적인 증명 ===
[[파일:0.99-2.gif]]

사실 이방법은 증명이라 할 수 없다.
1 = 0.999... 라는 사실을 엄밀하게 설명할 수 없기 때문이다.

ㄴ 이 방법으로 증명 가능하다. 무한소수의 정의상 이미 0.999... 는 수렴값으로 정의된다. 그 말은, 실수의 사칙연산을 자유자재로 할 수 있으므로 위 증명은 옳다.

=== [[귀류법]]을 사용한 증명 ===
0.99999999999..... < 1이라고 가정하자. 임의의 실수 a, b에 대하여 a < b가 참일 때 a < c < b인 임의의 실수 c가 반드시 존재한다. (실수의 조밀성) 즉 a = 0.999..., b = 1이라고 가정한다면 (a + b)/2인 실수가 반드시 존재한다. 하지만 소숫점 밑으로 9가 무한히 반복하는 상황에서 맨 뒤에 또 다른 자리수를 붙이는 것은 의미가 없다. 예를 들어 a와 b의 중간값으로 0.99999.......5라고 하는 것은 옳은 결과값이 아니다. 0.99999.....5는 9가 n번 반복하는 상황(n은 임의의 실수)에서 소숫점 아래 n+1번째 자리가 5인 유한소수이다. 그러므로 0.9999999....5 < 0.9999999.... 이다. 즉 0.999...와 1 사이에 실수가 없으므로, 실수의 조밀성을 위반하기 때문에 위의 가정은 모순이다. 따라서 0.999... = 1이다.

ㄴ 마찬가지 방법으로 이번엔 b를 0.999... 이라고 놓아보자 그렇다면  b보다 작은 이 전의 숫자가 존재할것이다 이 숫자를 이과생들은 어찌 표현하는진 모르겠지만 편의상 0.999...8이라고 하자(끝이 8로 끝나는 유한소수가 아니니 착각하지마라)다시 이것을 a라고 치자
일반적인 상식에 의하면 a <b겠지만 위의 똑똑하신 이과충님의 실수의 조밀성에 의한 증명에 따라 a=b가 된다 다시 이번엔 a를 b로 두고 역시나 이 숫자보다 작은 0.999...7이라는 숫자는 반드시 존재한다
이런식으로 나아가다보면 언젠간 a값은 0 이 될것이다 근대 1=0.999...이라고 했다 그럼0.999...=0.999...8=0.999...7=...=0 이 된다
이번엔 반대로 한없이 올라가보자 그럼 a=b=무한대가되겠지 결론은 0=1=2=3=...=무한대가 된다

위와 같은 증명에 따라 나의 키는 173이 아니라 187이다 왜냐면 173=187이니까

ㄴ 느가 실수의 조밀성 자체를 잘못 이해하는거다. 일단 a와 b란 서로 다른 두 실수가 있을 때,  두 실수 a, b 사이의 숫자는 무한하게 많다. 만약 a와 b 사이에 어떠한 실수도 없다면 그건 a=b를 의미하는거지, a와 b 사이에 어떤 수도 없는데 a≠b라고 주장하는 것 자체가 에러임.

ㄴ 그니깐 귀류법으로 a≠b라고 가정한다음에 a와 b 사이에 아무것도 없다고 보인거잖아.

ㄴ 애초에 0.999•••8을 무한소수라고 가정한 것부터 잘못된 것 같은데? 순환소수 0.999•••9는 정의할 수 있는 딱부러지는 값(0.9에서 9위에 점하나 혹은1/9×9)이 있는데 0.999•••8은 무리수야
근데 무리수면 적용이 되겠지만 뒤가 8이라는 것을 안 이상 무한소수라고 할 수도 없어(맨 뒤가 뭔지 알면 애초에 무한하다고 할 수 없음. 또 0.999•••9가지고 태클 못거는 이유는 1/9라는 수를 9곱해서 만든것이 0.999•••9이기 때문이야 그니까 예상도)
무한소수가 아닌데 무한소수하고 0.999•••8을 비교하는게 애초에 잘못되었다는거

=== 국어를 사용한 증명 ===
1 - 0.999... = 0.000...00001 ''(해설을 위해 잠시 이렇게 표기함)'' 에서 0.000...01은 0이 무한히 나오는데 여기서 無限은 끝이 없음, 즉 0만 '''밑도 끝도 없이''' 좆빠지게 쳐나오니 마지막 1이 끼어들 자리가 없으므로 0.0000...001 = 정확히 0 인거다.

=== 기타 ===
수열의 극한을 이용한 증명, 1/3 = 0.3333...을 이용한 증명 등 무궁무진하다.

=== 유리수 범위에서의 증명 ===
증명 과정은 가능한 풀어서 쓰겠다. 우선 유리수, 그러니까 분모(물론, 0이 아녀야 한다.)와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수에 대해 다음이 성립한다.

:'''아르키메데스 성질'''. 모든 0보다 큰 유리수 a/b에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수 c/d보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, n×a/b≥c/d인 n이 존재한다.
:쉽게 한 가지 예를 들면 1/999에 어떤 자연수 n을 곱하면 큰 수 999보다 크게 만들 수 있다. n을 1000000정도로 하면, 1001.001001001...이 되어 999보다 크다. 큰 수가 999보다 더 커도 n을 충분히 크게 하면 상관 없다.
:증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 유리수 a/b는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 유리수 c/d보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, n×a/b<c/d이어야 한다.
::물론 c와 d 중에 하나가 음의 정수든지 해서 c/d가 0보다 크지 않다면 애초에 a/b보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 c와 d가 모두 자연수인 경우만 고려하면 된다.
::부등식의 양변에 bd를 곱해서 이항하면 0<cb-n(ad)이 되고 이는 자연수여야 한다. 하지만 자연수는 작은 쪽으로는 한도가 있지만 큰 쪽으로는 한도가 없다는 특징이 있다.
::어떤 큰 자연수 n에 대해서 cb-n(ad)가 0보다 크다고 해도, n+1, n+2, ...는 더 큰 자연수이므로 cb-(n+1)ad, cb-(n+2)ad, ...로 더 작은 수를 얼마든지 만들 수 있다.
::따라서 cb-n(ad)가 0보다 커야 한단 제한이 있는 이상, 하다못해 -10000보다 커야 한단 제한이 있대도 n이 커지면 cb-n(ad)는 언젠가 그보다 작아질 수밖에 없다. 그러므로 이 명제는 참이다.

이제 0.9, 0.99, 0.999와 같은 것들이 유리수이니 순환소수인 0.999...도 유리수로 정의될 수 있고, 그러면 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명할 수 있다.

:'''명제'''. 유리수 범위에서, 0.999...=1이다. 수식으로 표현하면, 0.999...+e=1인 e는 0 이외에 없다.
:증명. 0.999...가 유리수이면 e=1-0.999...도 유리수이다. 이것이 0이 아니라면, 0.999...>1은 아닐 것이므로 0보다 큰 유리수이다. 
::그러니 위에서 증명한 아르키메데스 성질에 의해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수보다 크게 만들 수 있다. 1≤ne≤2를 만족하는 자연수 n 가운데 하나를 골라 k라고 하겠다.
::그러면 k×0.999...+ke=k에서 k-2≤k×0.999...≤k-1인데, k는 유한한 자연수이므로 어떤 유한소수 0.99...9의 9의 개수를 k로 하여 k-1<k×0.99...9를 만들 수 있다.
:쉽게 한 가지 예를 들어 9의 개수를 11로 두면 10<11×0.99999999999=10.99999999989처럼 k가 1이 늘어나면 끝 자리 수만 ...1씩 줄어드는데 9의 숫자가 하나 늘면 k의 열 배의 효과를 내기 때문에 얼마든지 k-1<k×0.99...9인 유한소수 0.99...9를 만들 수 있다.
::따라서 0.999...≠1이면 어떤 유한소수 0.99...9에 대해 0.99...9>0.999...란 결론이 나온다. 여기서 양변에 10^k를 곱하면 99...9>99...9.999...가 되어 0>0.999...가 된다.
::0.999...=1이면 이런 문제는 깨끗이 사라지고 이 명제는 참이다.

=== 실수 범위에서의 증명 ===
유리수 체계와 실수 체계는 엄연히 다른 체계이기 때문에 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명한 건 실수 범위에서 증명하는 것과는 별개이고, 실수 범위에서 0.999...=1을 증명하기 위해 우선 유리수를 실수로 확장하는 과정을 개략적으로 살펴보겠다.

자연수 n이 커질수록 x-a_{n}의 절댓값이 0을 향할 때 수열 a_{n}은 x에 ''가깝다''고 하겠다. x^2=2의 양수인 해 √2에 ''가까운'' 수열은 여러 가지가 있는데, 점화식 a_1=1, a_{n+1}=a_{n}/2+1/a_{n}으로 나타나는 수열이나 그저 한 자리씩 늘려 쓴 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...}가 그 예다.

두 가지 수열의 공통점은 모든 항이 유리수라는 것이고 게다가 무리수에 ''가깝다''는 것이다. 이렇게 유리수에서 빈틈이 보이니 채워 넣을 수 체계를 구성하려면, <code>간단한 발상</code>은 아무래도 √2에 ''가까운'' 무수히 많은 수열을 모은 그 자체를 √2란 수로 '정의'하는 것이고 실제로 모든 실수를 이렇게 정의할 수 있다.

모든 항이 유리수인 모든 수열이 점근하는 모든 값들을 각각의 실수라고 정의한 게 다다. ''가깝다''는 표현을 수렴한다는 용어로 고쳐 쓰면 위의 과정은 곧 그 유명한 극한의 정의인 엡실론-델타 논법으로 정착된다. 극한과 연관 짓는 게 정 마음에 안 든다면 다른 구성 방법은 얼마든지 있으니 참고하길 바란다.[https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers]

수열의 극한값이 되는 빠진 점들을 채운 게 실수이고 모든 항이 실수인 모든 수렴하는 수열의 극한값은 실수이다. 따라서 실수에 대해서도 다음이 성립한다.

:'''아르키메데스 성질'''. 모든 0보다 큰 실수 x에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 실수 y보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, nx≥y인 n이 존재한다.
:증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 실수 x는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 실수 y보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, nx<y이어야 한다.
::물론 y가 0보다 크지 않다면 애초에 x보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 y가 양의 실수인 경우만 고려하면 된다.
::자연수 n이 커지면 nx도 커지는데 y보다 작다면 {x, 2x, 3x, ...}와 같은 수열은 y보다 크지 않은 어떤 값에 수렴할 것인데, 이 값을 c라 하겠다.
::어떤 큰 자연수 k에 대해서 kx가 c-x보다 크다고 하면 (k+1)x는 c보다 크므로 nx는 언젠가 c보다 큰 값을 가진다. 수열은 수렴하지 않고 이 명제는 참이다.

유리수에서와 같은 논리로 실수 범위에서도 0.999...=1을 증명할 수 있고 이제 모든 두 실수 사이에는 적어도 하나의 유리수가 존재한다.

=== 고등학교 수준으로의 증명 ===
[[파일:0.9999...=1증명.png]]
극한은 문과도 배우니까 반박시 유인원

==== 교과 과정은 문제가 없을까? ====
위의 항목에도 언급된 중학교 때 배우는 가장 기초적인 증명에서 무한급수의 뺄셈을 함부로 해서는 안 된다. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...=ln2인데 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+...=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+...=(ln2)/2인 것처럼 연산하는 순서에 따라 다르게 수렴할 수 있다.

무한급수의 뺄셈을 통한 0.999...=1의 증명이 틀렸다는 게 아니라, 그 방법의 타당성을 검증하는 과정이 필요하다는 뜻이다.

:'''명제'''. ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|이 수렴하면, ∑_{n=1}^{∞} a_{n}은 다르게 배열해도 같은 값에 수렴한다.
:증명. 다르게 배열한 순서는 원래 순서의 자연수 n에서 함수 f(n)으로의 일대일 대응으로 볼 수 있다. 어떤 큰 자연수 N에 대해서 f(1), f(2), ..., f(N)들 가운데 제일 큰 것을 M이라고 하겠다.
::a_{n}의 모든 항이 양수라고 하면 다르게 배열한 수열은 a_{f(n)}으로 쓸 수 있고, f(1), f(2), ..., f(N)은 1, 2, ..., M에 포함되어서 a_{f(1)}+a_{f(2)}+...+a_{f(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.
::원래의 순서는 다르게 배열한 순서의 자연수 n에서 함수 g(n)으로의 일대일 대응, 그러니까 역함수 f^{-1}(n)로 볼 수 있다. 그러면 a_{g(1)}+a_{g(2)}+...+a_{g(N)}은 a_{1}+a_{2}+...+a_{M}을 넘을 수 없다.
::그런데 |a_{n}|이 수렴하므로 원래의 무한급수든 다르게 배열한 무한급수든 어떤 값보다는 작아야 하고, 그런 제한이 있는 이상 a_{n}은 모든 항이 양수인 급수의 합과 차로 나눌 수 있으니 이 명제는 참이다.

고등학교 때 배우는 증명은 간단하지만 무한급수를 쓴단 건 다르지 않다. 무한급수는 정의에 의해서 수렴하면 수열의 극한값으로 나타낼 수 있고, 실수는 정의에 의해서 실수 자체가 수열의 극한값이라고 해석할 수 있으므로 0.999...=9/10+9/100+9/1000+...=∑_{n=1}^{∞} 9/10^{n}=1이다.

==== 0.999...≠1일 수는 없을까? ====
사실은 0.999...≠1인 수 체계를 고안해도 상관없다.[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B9%84%ED%91%9C%EC%A4%80_%ED%95%B4%EC%84%9D%ED%95%99] 칸토어가 말했듯 수학의 본질은 그 자유로움에 있다.

수 체계를 <code>쓸모 있게</code> 확장한 결과가 0.999...=1일 뿐이고, 수학적 증명은 절대적인 진리를 뜻하지 않는다.

실수 체계가 직관에 맞을 거라 착각할 이유도 없고, 수라는 건 실수든 허수든 실체가 없는 추상적인 개념이다.